在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数哥扬汽事斤的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在来自环论方面的事实和拉格360百科朗日定理构成了欧拉定促阳当理的证明。

基本概述

委盾财　　在数论，对正整数煤府载原n，欧拉函数varphi(n)是少创州于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient fu县英般玉时个使获值nction、φ函数、欧拉商数等。

欧拉函数

　　例如varphi(8)=4，因为1来自,3,5,7均和8互质。

环希顾课黑另美婷念　　从欧拉函数引伸出香妈格也节治家任钟意述来在环论方面的事360百科实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

函数的值

　　<math>\varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。

　　若n是质数p的k次幂，<math>\varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因还酒妒镇换晚为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

　　欧拉函数是积性函数——若m,n互质，<math>\给室入香或我六背价varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math>。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，<math>A \times B</math>和C可建立一一对应的关系。因此<math>\varphi(n)</math>的值使用算术基本定理便知，

　　若<math>n = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p}</math>，

　　则<math>\varphi(牛困选未贵将供烧浓考n) = \prod_{p亮困阿通笑\mid n} p^{\alpha调经究五容_p-1}(p-1) = 华往里n\prod_{p|n}\left(1-\frac\right)</math>。

　　例如<math>\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^(2-1)\times3^(3-1)=2^2\times1\times3\times2=24</math>

　　与欧拉定理、费马小定理妒做械杨甚厂硫赶液的关系

　　对任何两个互质的正整数a, m，<math>m\ge2</math>，有

　　<math>a^{\va益干院罗待河跳祖感丝损rphi(m)} \equiv 1 \pmod m</math>

　　即欧拉定理

　　当m是质数p时，此式则为：

　　<math>a^ \equiv 1 \pmod p</math>

　易露执看远称叶体息植　即费马小定理。