• 中文名 费马小定理
• 提出时间 1636年
• 提出者 皮埃尔·德·费马
• 应用学科 数学

历史

　　a^(p-1)≡1 (mod p)

　　皮埃尔•德•费马于1离首坚补盐着还饭药切巴636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出来自a是一个质数的要求。这个要求实际上不存在。对于上述公式，其还360百科有一个变异形式：

　　a^p≡a 门急农属史差左(mod p)

　　注意：当p不整除a时，两个区项质样屋命题等价；当p整除a时，变异形式显然成立。

费马小定理

费马小定理

费马小定理

费马小定理

　　与费马无关的有一个中国猜想。这个猜想是中国数学家提出来的。其京呀急黑胡内容为如果，而且只有当2p = 2(mod p)成立时p才是一个质数。

　　假如p是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想重知害否三门部是错误的。

　　一般认黑兵又为中国数学家在费马前2000年歌的时候就已经认识中国猜测了。纸朝殖预形月对富乐耐致但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

证明

　　一、准备知识：

　　引理1．剩各子绝河由余系定理2若a,b,c为任意3管著成协谁低年个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm)

　　证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(后眼封a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得试矛季思a≡b(mod m)

　　引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，保零电南红若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

　　证明众程：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个试地石续概对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1引理3．剩余系定理7设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。

　　证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。

　　引理4．同余定理6如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)

松愿　　证明：由题设得ac≡bc微完亲赵季(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m)

　　证明

　　假如a和b 的 差不能被n整除的话 ， 那么假如x>0才供他总帝反从末和x和n的最 大 公约数为1 的 话 ， 则x•a与x•b 的 差也不能 被n整除。取A为所有小于p 的 整数的集（A中的数都不能被p整除），B为A中所有元素乘 以a所获得的 数的 集。任何两 个A中 的 元素的差都不能被p整除。由此任何两个B中的元素的差也无法被p整除。由此

　　1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-1) \equiv (1 \cdot a)\cdot(2 \cdot a)\cdot\dots\cdot ((p-1) \cdot a) \pmod,

　　既

　　W \equiv W\cdot a^ \pmod,

　　在这里W=1•2•3•...•(p-1)。将整个公式除以W既得到：

　　a^ \equiv 1 \pmod

广义

河省经唱圆　　费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么

　　a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod

　　在这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。假如n是一个质数，则φ(n) = 来自n-1，即费马小定理。

　　在费马小定理的基础上费马提出了一种测试质数的算法。

实际应用

　　如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为伪质数。

　　假如所有符合1 < b < p的b p都满足下列条件的话：

　　b^ \equiv b \mod p

　　则p必定是一个质数。

　　实际上没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测360百科试所有的小于p的质数就可以了。

　　这个算法的缺点是它非常压审探伤优济板孩混慢，运算率高。

地位

　　费马小定理是数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理(数论中的欧拉定理，即欧拉函数)，中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非员约川官常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一歌齐货写评架下三个特殊情况（见于词条“欧拉函数”）。

​应句线真用

　　如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。

唱　　对于中国猜测稍作改动，即得到判断一个数是否为质数的一个方法：

　　如果对于任意满足1 < b < p稳罗给铁松看度过者期政的b下式都成立：

　　b^(p-1)≡1(mod p)

　　则p必定是一个质数。

　　实际上，没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。

　　这个算法的缺点是它非常慢，运算率高；但是它很适合在计算机上面运行程序进行验算一个数是否是质数。