这一近似表达式是 Leonhard Euler (来自1707 - 1783) 于 1737 年在一篇学社今日克配题为 «对无穷级数的360百科若干观察» 岁月损田统赶课的论文中提出并加以证明的，式中 n 为自然数，p为素数,后人错误的尊称"Euler乘积恒等式",并且错误地广否投院态将一个对自然数的求和表达式与一个对素数的连乘积表达式联系在一起. 例如后人在Euler乘积式左端的求和式被冠以Riemann的大名，并沿用Riemann使用过的记号ζ(s)， 称为Riemann ζ函数,这同样不是等式。它们都依赖于数频科学的证明.[1]baike.sogou.com/v.派厚行河格何.. - 2016-7-2

• 中文名称 欧拉乘积表达式
• 外文名称 数频连乘积定律
• 提出者  Leonhard Euler 
• 创立者 吴合法
• 时间 2015.11

"欧拉乘积公式"不是等式[1]

　　Euler 乘积公式的证明十分简单而不完备，在数频科学有完备的定律.

　　Euler 本人的证明: 介绍一下， 因为 |R(N)| ≤ Σn≥N|f(n)|，而 Σn|f(n)| < ∞ 表明 limN→∞Σn≥N|f我定将(n)| = 0， 从而 limN→∞|R(N)| = 0。

　　由于 1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ... = [1-f(p)]-1，

　　Σnf(n) = 曾写策Πp[1-f(p)]-1注意到 (利用 f来自(n) 的性质):

　　f(2门就剧直)Σnf(n) = f(2)+f(4)+f(6)+ ...

　　因此:

　　[1-f(2360百科)]Σnf(n) = f(1务袁贵)+f(3)+f(5)+ ...

　　等式右端所有含有因子 2 的 f(n实阻阿准位吗尔) 项并没有消去 (这种逐项对消有义此反攻批死加料赖于Σn|f(n)| < ∞， 即 Σnf(n) 绝对收敛)。

　　类似初地，以 [1-f(3)] 乘以上式则右端所有含有因子 3 的 f(n) 项也都没有消去， 依此， 将所有 [1-f(p)] (p 为素数) 乘上后右端便只近似剩下了 f(1)， 即欧拉近似表达式:

　　Πp[1-f温第充构害各答身(p)]Σnf(n)≈ f(1) ≈1

　　其中最后一步再次错误使用了 f(n) 的性质 (f(维抓老之1)f(n)=f(n) → f(1)=1。

　　错误推论: Riemann ζ函数ζ(s)在 Re(s)>1 没有零点。

　　证明察限台朝修妈活土让医了: 设 Re(s)=a， 由 Euler 乘积近似式给出:

　　|ζ(s)| = Πp|1-p-s|-1 ≥ Πp(1+p-a)-1 = exp[-Σpln(1+p-a)]

　　注意到对于任何 x>0， ln(1+x)<x，因此由上式可进一步推得:

　　|ζ(s)资防丰括温| ≥ exp[-Σpp-a] > 0

　　其中最后一步是因为对于 a>1战，Σpp-a 收敛。这将失去科学完备的的意义

　　第讨复逐水即婷阿它领四章 数频科学连乘积定律

　　数频连乘积定律取代欧拉乘积的悖论,从而开启了21世纪的数频科学新领域.在数频科学,否定欧拉乘积"定理"起于20世纪的哥德尔不完备定理;同样建注立在等式基础上的数频科学连乘积定律也一并否定了哥德尔不完备定理. 欧拉乘积"定理"经历了二百多年的研究与学习,在于它看似完整的论述,几乎天衣无缝地让人觉背祖史粮先片械员自求超察不到它隐藏至深的悖论而深信不疑,这就注定了它一直在误导欧拉本人及其后来者的学术方向,注定了它是一个不断令人迷惑坠入不完备的深渊而不能自拔、没有希望的悖论,以此为基础而取得的看似连绵不断的辉煌学术"成果",在数频科学诞生之日也就是它形神重新分合,各自成定律之时

4.德和无读高游严天应1. 数频连乘积定律

　　数频连乘积定律是首立助出山一个科学问题,经典数学欧拉连乘促介明积公式是一个不完备的表达式,这是两个形式极度相似而性质完全不同的领域.

　　1. 数频连乘积定律

　　定律1表明,即形如①式不等式,这直接否定了欧拉的乘积 . 对于数频连乘积定律容易产生的误解是,将分子写成2·(2·2·2·3·2·4·2·5·6·......)然后对分母相互消去所有奇数,余下的部分2·2·.......2(2·4·6·8·.......)必然发散,从而得出欧拉乘积的悖论在于收敛和发散是有条件的,但一定不是等式.事实上②<1始终分子分母项消去的只是无穷奇数的前一半所有项,而始终保留无穷奇数的后一半的无穷项.

　　2.数频--黎曼ζ函数定律 : 1≤s;s→∞,p为质数.ζ(sn)=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n≥1>∏(1-p).

　　证明: ⑴.设ζ(s1)=1+1/2, (1/2)ζ(s1)=1/2+1/4,

　　即(1-1/2)ζ(s1)=ζ(s1)-1/2ζ(s1)=1-1/4;

　　⑵.设ζ(s2)=1+1/2+1/3,则ζ(s2)/2=1/2+1/4+1/6,

　　ζ(s2)/(1-1/2)=1/2+1/4+1/6,

　　1/3(1-1/2)ζ(s2)=1/3+1/9-1/12-1/18,

　　(1-1/3)(1-1/2)ζ(s2)=1-1/4-1/6-1/9+1/12+1/18+1/24.

　　⑶.设ζ(s3)=1+1/2+1/3+1/4; ζ(s3)/2=1/2+1/4+1/6+1/8,(1-1/2)

　　ζ(s3)=1+1/3-1/6-1/8; 1/3ζ(s3)=1/3+1/9-1/18-1/24,

　　( 1-1/3)(1-1/2)ζ(s3)=1-1/6-1/8-1/9+1/18+1/24.

　　(1-1/4)(1-1/3)(1-1/2)ζ(s3)=1-1/4-1/6-1/8-1/9+1/18(1-1/4)+1/24(1-1/4);

　　⑷. ........................

　　⑸. 设ζ(sn)=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n, ..........,

　　依次有1/2ζ(sn)=1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/(2n), ........

　　(以上5 步推导过程表明,欧拉的第一结论即消去所有偶数项不成立;其第二结论消去2和3的所有倍数不成立;第三重复的最后结论等于1 不成立.因为右边的即:增加的负偶数项与正偶数项不相等并小于1 ;最后重要的是:如果增加的负偶数项之和与增加的正偶数项的和近似作为0 ,那么原式ζ(s)不用求,可得s=∞,1+1/2+1/3+......=1.即当s=1时就产生悖论,因此欧拉把右边的结论看做1来处理,只是他个人主观不是客观事实.)

　　⑹.总结以上论述,可证明 数频--黎曼ζ函数定律. 完毕.

　　§4.2.欧拉乘积是不完备的.

　　哥德尔不完备定理表明:在不完备的经典实数数学理论体系下,一切结论都不完备,尤其欧拉的连乘积表达式,倍加引人关注-----它决定了黎曼猜想成败与否,科学意义非同一般.以上欧拉的形式展开是近似的推导.自⑶式起都是近似的表达式,不是完备的证明;欧拉利用了错误的调和级数发散悖论,必然得出质数的倒数之和发散的悖论.参考资料

　　[1]. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.A history of calculus. University of St Andrews. 1996-02[2007-08-07].

　　[2].John Derbyshire (2003), chapter 7, "The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem"