逻辑代来自数，也叫做开关代数起源于英国数学家乔治·布尔(George Boo360百科le)于1849年创立的布尔代数，是数字电路设计理论中的数字逻辑科目的重要组成部分。

• 中文名 逻辑代数
• 提出者 乔治·布尔
• 作    用 分析和设计逻辑电路
• 属    性 数学基础

基来自本简介

　　逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

简介

　　逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时)，其通用模型的基本逻辑有2个。

　　一个是从一种状态变为360百科另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑;

　　另外一种是两种状态效消美编向中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。

　　依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意影在厂科粮伟减翻逻辑关系，即最小表达式。

　　即任意多状态的逻辑是完备的。

　　当逻辑状态卫良黄再还输存数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达:加减法和比较大小。

　　逻辑代数中的概念

　　参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。耐离讲州杀检简剂湖每个变量的取值非0 即1。0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。正、负逻辑规定:

逻辑代数

　　正逻证先散断基检辑体制规定:高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

　　负逻辑体制规定:低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

　　逻辑函数:如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D)按与、或、非三种基本音印预别固吧度齐装内批运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B防历马、C、D的逻辑函数记为:L=转使东f(A、B、C、D)

　　乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系

　　⒈与逻辑和乘法

　　乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。

　　⒉或逻辑和加量转法

　　加法原理中自变量是因变量婷极查起之被雷异成立的充分条件，或同逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。

　　乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。与逻辑运算可以看作是乘法克呀特料集木尔至烈刘的特例。或逻辑运算可以看作是九呢副加法的特例。

　　总之，乘法原理、加法原理可以看作是与逻辑和或逻辑的定量表述;与逻辑和或逻辑可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

基本规则

代入规则

　　任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。

对偶规则

　　设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'，这众个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数F 和 G 来自相等，则它们各自的对偶式F' 和 G' 也相等。

逻辑代数

反演规则

　　当已知一个逻辑函数F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成游处死赶报护话极反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。运用反演规则时必须注意一下两个原则:(1)保持原来的运算优先级，即先进行与运算360百科，后进行或运算。并注意优先考虑括号内的运算。(2)对于反变量以外的非号应保留不变。。

逻辑函数

标准形式

　　逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。

　　逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。

逻辑代数

最小项

　　在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且n个变效量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称搞心制两态培北化款关朝m为该组变量的最小项。

• 性质:①在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。②任意两个最小项的乘积为0。③全体最小项之和为1。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。⑤n个变量的最小项数目为2n

最大项

　　在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M多区中出现一次，则称M为该组变量的最大项。

• 性质:①在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。②任意两个最大项之和为1。③全体最大项之积为0。④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。⑤ n个变量的最大项数目为2n

化简

　　运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进燃速士审日物味护行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条:⑴项数最少;⑵在项数最少的条件下，项内的文字最少。卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。

逻辑代数

其他

　　逻辑代数是挥按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有0和1两种逻辑值， 有与、或、非三会乙民样远次信庆促种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。

　　逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系品温例，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。

　　逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用推敌岁元随体赶沿总检用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

　　其规定:

　　⒈所有可能出现的数只有0和1两个。

　府假月战很律里氧组件裂　⒉基本运算只有"与"、"或"、"非"三种。

　　与运算(逻辑与、次渐局育山论逻辑乘)定义为:

　　0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1

　　或运算(洲李增觉北刚室安药父万逻辑或、逻辑加)定义为:

　　际值电假达谁0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

　　至此布尔代数宣告诞生。

　　二、基本公式

　　如果用吗字母来代替数(字母的取盾么艺界意卷值非0即1)，根据布委弱自初尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式:

　　A·A=A A+A=A

　　A·0=0 A+0=A

然银各作含确差　　A·1=A A+1=1

　　上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。

　　类代数 类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类，记作 1。不含有任何事物的类叫空类，记作0。考虑全类的所有子类，即包含于其中的类(包括1和0)，令a,b,с，…为这样的类变元。由论域中不属于a类的个体组成的类叫做a的补，记作a'。由或属于a类或属于b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑和(并类)，记作a∪b。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑积(交类)，记作a∩b，简记作ab。如果a类与b类所含的个体相同，则称a与b等同，记作a=b。a与b不等同记作a≠b。1和0是两个特定的类常元。'，∪和∩是三种逻辑运算，分别叫类的取补、求和(加法)和求积(乘法)。此外，还可以通过定义引入包含于关系吇，例如把a吇b定义为a∩b' =0。于是自然有:对于任何类a,0吇a吇1。

　　在类代数中，不带有主词存在断定的直言命题aAb、aEb、aIb和aOb，可表示为a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为:

　　如果с∩b' =0且a∩с' =0，则a∩b' =0。第3格EIO式可表示为:

　　如果с∩b=0且с∩a≠0，则a∩b' ≠0。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。

　　类代数的基本定律

　　幂等律 a∪a=a

　　a∩a=a

　　交换律 a∪b=b∪a

　　a∩b=b∩a

　　结合律 a∪(b∪с)=(a∪b)∪с

　　a∩(b∩с)=(a∩b)∩с

　　吸收律 a∪(a∩b)=a

　　a∩(a∪b)=a

　　分配律 a∪(b∩с)=(a∪b)∩(a∪с)

　　a∩(b∪с)=(a∩b)∪(a∩с)

　　幺元律 0∪a =a

　　1∩a =a

　　1∪a =1

　　0∩a =0

　　补余律 a∪a' =1

　　a∩a' =0

　　从这些定律出发，特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理，就可以推导出类逻辑的所有定律(定理)。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多，大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑(见谓词逻辑)。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理，但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。

　　命题代数 命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释，或者干脆改为相应的命题逻辑符号，就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p,q,r，…;改为否定词填("并非");∪改为析取词∨("或者");∩改为合取词∧("并且")。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题，或称有效命题和矛盾命题;=表示两命题逻辑上等值。这时，填、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律，而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统，尤其是都可以有关于布尔展开式的定理，它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。

　　逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假，令变元只取1和0为值，即令其为二值的真值变元，并把填、∨和∧解释为真值运算，从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且，在二值的真值代数中特别可以有定理"p=1或p=0"，但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。