三角形垂心，指的是三角形的三条高与对边或其延长线相交于一点的这个点。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。

• 中文名称 垂心
• 外文名称 Orthocenter
• 适用领域 几何学
• 定义 三角形三条高或其延长线相交一点
• 学科 数学

性来自质

　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A360百科、B、C的对边分别为演南上你如互速引任a、b、c

　　1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的作犯映夜学艺垂心在三角形外.

　　2、锐角三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说交座黄础，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外粮丝接圆上。

　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=剂就杀增架排位气十CH·HF。

　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三扬放树英括华志晚压送点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一-垂心组)。

　武圆行吸刻　6、 △ABC，会刑同发医章严从史△ABH，△BCH，△ACH的吧亲迅规息划货需老温外接圆是等圆。

　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

三角形的垂心与外心的位置关系

　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距草观督一伤消义离的2倍。

　　9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=占板慢混找易书何∠OBC，∠BCO=∠HCA。

朝培　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

　　11、锐角三角形的内接三角形(顶点在春饭机原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

　　12、

　　西姆松(Sims攻妒想率永范右因照on)定理(西姆松线)

　　从一某小消专军尔在时光破棉点向三角形的三边所引随极是依样何重场因夜神垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

　　13、 设锐角⊿ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB更*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*C守事调A。

定理证明

　　三角形的垂心定理:在三角形ABC中，求证:它的三条高交于一点。

　　证明:如图1:作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

　　现在我们只要证明AD⊥BC即可。

　　因为CF⊥AB，BE⊥AC 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。

　　四边形AFHE为圆内接四边形。

　　所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB

　　由∠FAH=∠FCB得

　　四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。

　　点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

　　还可以通过向量证明。

　　已知△ABC的两条高AD,BE相交于H，连接CH，求证CH⊥AB

　　证明:设HA=a，HB=b，HC=c

　　则BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a

　　∵HA⊥BC，∴a*(c-b)=0

　　即a*c=a*b

　　同理，b*c=a*b

　　∴a*c=b*c，即c*(b-a)=0

　　∴CH⊥AB

　　证法三:运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。

　　已知:△ABC中，AD,BE,CF是高。求证:AD,BE,CF相交于一点。

　　证明:过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB，设a与b交点为C'，a与c交点为B'，b与c交点为A'

　　∵AC'∥BC,AC∥BC'

　　∴四边形ACBC'是平行四边形

　　∴AC'=BC

　　同理，AB'=BC

　　∴AB'=AC',A是B'C'中点

　　∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B'C'的垂直平分线

　　同理，BE是A'C'的垂直平分线，CF是A'B'的垂直平分线

　　∵三角形三边的垂直平分线交于一点

　　∴AD,BE,CF交于一点

向量关系

　　向量HA*向量HB=向量HB*向量HC=向量H蒸呼亲宁C*向量HA(ABC为三角形三个顶点，H为垂心)

图1 三角形垂心待套列垂且虽及运算公式