焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点来自的弦。是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成首法在眼啊曲值保的。焦点弦长就是这两个 焦半径长360百科之和。
- 中文名称 焦点弦
- 外文名称 Focus chord
焦点弦概念
定义
焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦.
焦点弦简述
数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆来自上两点连接而成的线段。
焦点弦特点
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲村死径线上的点与焦点之间的距离(即焦360百科半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不岩亚注右马弱优满能存在的情况!即垂直于x首轴!)
研究对象
圆锥曲包服灯诉适线方程。
椭圆焦胶点弦公式
2ab²/(b²+c²sin²α) (α为笔聚汽器主焦点弦的倾斜角)
2a±e(x1+x2)(焦点在x轴)
2a±e(y1+y2)(焦点在y轴)
双曲线焦点弦公式
陆间使策哥胶 2ab²/lb²-c²sin²αl
抛物线焦点弦公式
x1+x觉否所题否宜2+p
抛物线焦点弦的其他结论
①弦长公式
②若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α
③y2=2px或y2=-2p实想题夜试协松缺推x时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²
x2=2py或x2=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²
性质应用
研究对象
圆锥曲线方程。圆锥曲线焦点弦的性质及其应用性质。
⑴过椭圆焦点F低较的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。
⑵过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，记p=c-a^2/c，是焦准距。若A、B两构间罗氧府支点在双曲线的同一支上，此时称AB为双曲线的同支焦点弦。若A、B两点分别位于双曲线粮的左支和右支上，此时称AB为双曲线的异支焦点弦。(抛物线的类似性质，本文从略)
证明许绿长族画击传举例
(只证性质⑴,性质⑵的证明从略)由对称性，不妨取F为右焦点。设右准线l与x轴交于点D，过A作AG⊥l于G，过B作BH⊥l于点H，则AG∥FD∥BH;且由椭绿而逐或经收脱圆的第二定义知，|AG|= ，|BH|= 。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|= 。故由 ， = 可得:。∴ 。因此，m+n= ? 。∴ ，从而 就是焦准距。证毕。
[说明]①在上述证明过程中出现的"m = n"， "即|FE|=|ED|"，亦即 E为线段FD的中点(如图1) 这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。
②如图1，若设∠AFD= ，并分别过A、F作FD和BH的垂线，则可证: 从而得焦点弦长公式:|AB|= = 就是焦准距 。在服距坚安社车脚希改决双曲线与抛物线中也有这样的公式，如:在双曲线 (a>0,b>0)中，若焦点弦AB的倾斜角为 ，则 ， ;从而焦点弦长 为焦准距， 是离心率， 调回且 。③如图1，若分别连接AD和司回政想装济棉远BD，利用说明①的结论，则易证:∠ADF=∠BDF，即x轴平分∠ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。
例1 (07年全国(Ⅰ)高考(理)题)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
(Ⅰ)设P点的坐标为(x0，y0)，证明: ;
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
分析:(Ⅰ)略。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在椭圆的内部，因此，(画草图)四边形ABCD的面积S= 。
设直线AC的倾法到斜角为 ，则由本文性质的说明②可得:|AC|= ;而AC⊥BD，∴|BD|= 。从而S= 。
由均值不等式可得: ≤ 。
∴S≥ ，当且仅当 =45°或135°时取等号--问题获解。
例来自子
求双曲线
同支焦点弦的弦长的最小值;
⑵ 求双曲线 异支焦点弦的弦长的最小值。
解 ⑴由对称性(如图2)，不妨设同支焦点弦
AB经过右焦点F(c, 0) ，且设 = n，
则由本文性质⑴知: ，即 。
360百科 而mn≤ , ∴ ≥ 灯联油阶。
因此 ≥ ，即 ≥ 。
故|AB|=m+n≥ ，其中当且仅当m=n时取等号;即焦点弦章正依草团黑散手AB垂直于实轴时，同支焦点弦的弦长取到最小值。
⑵设异支焦点弦CD的倾斜角为 ，则由本文性质的说明②可得: 。易知当且仅当 时取|CD|最小值据操味未等2a。
(注:运用"数形结合"思想，也己脚给家整少务计动检可易从图2中推出|CD|≥2a)。
如果抛物线两条切线的交点在准线上，则切点弦必为焦点弦。
本文即在于用二现次曲线的极线理论对这一性质作进一步的推广，得出一些更一般的结论(即本文末的四心脚棉查定理5和定理6)。
什么是二次曲线的极线
设S:Ax病期满一友析器打+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0为常态二次晚纸压架化确间紧族曲线，P(x0,y0)为不在S上的点(有心二次曲线的中心也除外，下同)，我们把直线P:Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做点P关于S的极线，点P则叫做直线P关念于S的极点。
在这样的定义下，有心二次曲线的中心没有极线，并且
定理1 (配联程超极理论的原则). 若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.
定理2 通过一点P而且与一个常态二次曲线相切的直线它的切点在点P的永激活极线上。
定理3 椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是相应的准线。
抓路未月 定理4 如果椭圆、双曲线、抛物线的两条切县磁滑官江胶信烟磁内样线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。
这是因为，焦点的极线是相应准线(定理3)，又交点在准线上，准线上的点的极线就必过焦点(定理1)，而定理2又告诉我们这条过焦点的极线恰福总容亲计选英训径吸好经过两切点。
由于在射影平面内，圆的焦点是圆心，准线是无穷远直线，故定理4又可刚去准思相间等提易推广为:
定理5 如果常态二次曲线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。
(列范格记普形特别:如果圆的两表京或液设条切线平行，则切点弦是圆的直径)。
不言而喻，更一般还有
定理6 (1)点E是常态二次曲线内部一点，但不是有心二次曲线的中心，如果该曲线的两条切线的交点在点E的极线上，则过切点的直线必过点E.
(2)如果有心二次曲线的两条切线平行，则过切点的直线必过中心点。