设f(x)是来自区间E上的函数。若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使女夫掉得m≤f(x)360百科≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M叫评尼胶算待称为f(x)在区间E上的上界。

• 中文名 有界函数
• 外文名 Bounded Function
• 所属学科 数学
• 对应概念 无界函数
• 应用领域 自然科学

概念

等价定义

　　设f(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E来自的x，存在常数M≥0，使得|?(x)|≤M，则称?(X)是区间E上的有界函数。

例如

　　正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有景斤命毛则往服显界函数，因为对于声宁跑均热穿沉质凯每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

新的概念

　　有界函数的进一步概念

相关概念

　　设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正360百科数M 对于一切X∈A都有不等式{f(x)}≤M的则称函数f(x)在A上有界士它煤科春掌白盐液今巴，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ?(x)≤M（?(x)≥L）

　　则称?在D上有上（下）界的函数，M（L）称为?在D上的一个上（下）界。

　　根据定义，?在D上有上（下）界，则意味着值域?(约冲似维责D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为?在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是?在D上的上（下）界。根修书易作十略争责据确界原理，?在定义域上有上（下）确界。

　　一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，个训需指引司一个数列f= (a0,a1,a2, ... ) 是互有界的，如果存在一个数航开M> 0，使得对于所有的自然数n，都有

　　|an| ≤M。

例子

　　由? (x)=sinx所定般杂牛菜标守容跳席书束义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于-1或1）是无界型罗货跟米概的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。

　　函数 是有界的。

　　任何一个连续函数f:[0,1] 电指内论→R都是有界的。 考虑这样一裂起候汉个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。绍外五不婷重非是写色这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

两者区别

　　函数的有界性与其他函数性质之间的关系

　　函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。

单调性

　　闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

连续性

　　来自闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

可积性

　　闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立360百科。

无界函数

　　类似的我们可以定义无界函数: 设?为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|?(x)|≥M。相关详细定义请查看百客晶命度百科无界函数