数学归纳法是短宣左力命企二点清一种重要的论证方法。本文从最小(自然)数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法(互露依周至信叫席利也称完整归纳来自法)进行粗略的探讨。

• 中文名称 第二数学归纳法
• 外文名称 Strong Mathematical Induction
• 意义 一种重要的论证方法
• 方法 从最小(自然)数原理出发
• 目的 对数学归纳法假设的加强

简介

　　数学归纳法是一种重要的论证方法。我们通常所说的"数学归纳法"大多是指它的第一种形式而言，本文从最界班守屋器且记市胞机小(自然)数原理出来自发，对它的第二种形逐行等何年费沿段跟式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识，并得到一种加强的证明方法。相对于第一数学归纳法，第二数学归纳法360百科的假设更强，理论上可以使用第一数学归纳法之须固慢型早永音如七证明的，必然可以敌叶岁假愿再使用第二数学归纳法证明;反之则不一定成立，我们有一个有关整数的整除理论的典型证明:"所有大于1的整数都可以分解成若干个素数的乘积"来看出这一点。

原理

　　1.最小(自然)数原理:(注:可利用数学归纳法加以证明)

　　任意一个非空自然数集C有最小元素。③

　　2.第二数学归纳法:

　　设有一个与自然数n有关

　　的命题P0，P1，P2,…,Pn如果:

　　(1)当n=0时，命题成露海图席酸音燃谈级正立;①

　　(2)假设当n≤k(k∈N)时，命题成立;②

　　由此可己林推得当n=k+1时，命题也成立。

　　那么根据①②可得，命题对于一切自然数n来说都成立。

证明

　　提示:用反证法证明。

　　证明:假设命题不是对一切自然数都成立，

　　假设C表示使命题不成立的自然数所组成的集合，显然C非空，

　　由③可得，C中必然存在最小元素，记为q，④

　　若q=0，与①矛盾，故q≥1;

　　∵q是C中的最小元素，

毫　　∴命题对于n<q即n≤q-1均成立，由②可得:

　　故命题对n=q也成立，与④矛盾，

　　故假设来自不成立，即命题N对360百科于一切自然数n均成立。▉

　　(接道田河让进注:"▉"表明命题证毕。)

说明

　　在假如论刚易步证在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃江至全部的自然数时命题的真全根优益飞侵伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳权许快矛吧法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的倍井皇假益即排未告解自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有必要这样做。

　　第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同家的表达形式，旨在更便于我们应用。