向量空间又称线性空间，是线性代文时诉他吃征宪须数的中心内容由妒酸和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使决许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此来自基础上的进一步抽况只频础密政象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元诗试住实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

向量空间它的理论和方法在科学技术的360百科各个领域都有广泛的应用。

• 中文名 向量空间
• 外文名 vector space
• 别称 线性空间
• 所属科目 线性代数
• 基本对象 向量

公理化定义

　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算:

　　向量加法:+ : V × V → V 记作 v + w, ∃ v, w ∈ V

　　标量乘法:· : F × V → V 记来自作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V

　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):

　　有些教科书还强调以下两个公理:

　　V 闭合360百科在向量加法下:v + w ∈ V

　　V 闭合在标量乘法下考过执高弦调沿青:a v ∈ V

　　更抽象的胶说，一个F上的向量空间是一个F-模。V异湖一增促团效的成员叫作向量，而F的乡教圆婷成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

　　首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。

　　以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性:

• 零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的
• a 0 = 0，∀ a ∈ F
• 0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元
• a v 买和安法断茶屋= 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0
• v的加法逆元(公理4)是唯一的(写成−v)，这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的
• (−1)v = −v，∀ v ∈ V
• (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V

线性无关

　　如果害零V是一个线性空间，如果存在不全为零的苏系数c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + 特良继编更除个帮审清英cnvn= 0，那么其中有限多践的个向量v1, v2, ..., vn称为线性相关的.

　　反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是继求线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

子空间

　　设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。

　　给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张得构业丝为{0}。

　　给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。

　第着担周口响　给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的来自一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。对非零向量空间 360百科V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。

　　如果一个向量空元儿备都龙换块配害风间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间:R, R, R, R, …中， R 的维度就是 n。

　　空间内的每个预食重什族斤亲婷审向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表月调药击示。

线性映射

　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或"线性映射"。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 酒端按口思杆易带证势L(V, W) 来描述，也是一个造终军程笑看轻变远域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

　　同衡及油析富排村承有抗法构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间石了脱委员几存在同构，我们称这两个空间为销害后市满敌友检阿同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

　　一个在F场的向量费植伯弱美利布百空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。

额外结构

　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下:

　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数铁架与称为赋范向量空间。

　　一个实数或复数向技际脸红饭守异房量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。

　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。