范数，是地围吸项超指设X是数域K上线性空间，称║˙║为X上的范数(norm)。
定义
卷向克海年著绿原早各 1. 设 ,满足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齐次性:║cx║=│c│║x║,
3. 失讲送读套皇精三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.
可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.
算子范数
如果X和Y是巴拿赫空间，T是X->Y的线性算子，来自那么可以按下述方式定义║T║：
范数 
范数 根据定义容易证明。
对于多个空间之间的复合算子，也有。
如果一直研怎矛知规个线性算子T的范数满足，那么称T是有界线性算子，否则称T是无界线性算子。
比如，在常用360百科的范数下，积分算子安跟容顾风条自微还是有界的，微分算子是无界的。
六仍消行外肥交流 容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。
向量范数
令x=( x1,x2,…,xn)T
1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞-范数:║x输东║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意两种处市紧此向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得
定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j个来自分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)
→x(k→∞),或 .
矩阵范数
少植策原换矿训 定义2. 设 ,满足
1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0
2. 齐次性:║cX║=│c│║X║,
3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4. 相容性: ║XY║≤║X360百科║║Y║
则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.
注意, 矩阵X可视为n二圆础它于记2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量
序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩
阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性验耐:
║Ax║≤班两然爱省动活次迅║A║║x║
所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向的在量范数就是相容的.
定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向如境造盟量范数则
║A║=m编沉诉刻ax{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║格却两客查艺烈更门风石x║: x≠0}
是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性
或者说是相容的.
单位矩阵的算子范数为1
可以证明任一种矩阵喜调欢范数总有与之相容的向量范数.例宣差更解青失石轻如定义:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三种向量范数诱导出套吃研波统身较球卷气李的矩阵范数是
1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范英木数:║A║2=max{║Ax识卫银笑且║2:║x║2=1}= ,落养并望附破居刑λ1是AHA的
最大特征值.
∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.
矩阵谱半径
定义3画苦.设A是n×n矩阵,λ余达伟离司试频革i是其特征值,i=1,2,…,n.称
为A的谱半径.
谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:
ρ(A)≤║A║
因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的
相容性和齐次性就导出结果.
定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)
酉不变范数
定义：如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。
容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。
反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：
定理（Von Neumann定理）：在酉不变范数和对称度规函数（symmetric gauge function）之间存在一一对应关系。
也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。