椭游才轻缩在队刚由圆曲线是数学中性质极其丰富的一类来自几何对象，它深刻联系360百科了数学的各个分支，与著名的费马猜想也有着密切联系。椭圆曲线就是平面中光滑的三次曲线---即用三次多依阳将供情带定项式方程定义被苏头船修的零点集。

定义

　　平面上光滑的三次曲线称作椭圆曲线. 在一个合适的坐标系下,它的一般方程可写作

　　y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e，

　　讲这里a,b等均为系数. 这样来自的方程称作Weiers360百科trass方程

　　椭圆曲线另外济径洋是众根女源是除了直线和圆锥曲线之外，被研究最多的代数曲线。 它具有极其丰富的分析、代数、几何与数论性质， 将数学中的许多重要分支都联系起来。著名的费马大定理就和椭圆曲线有着密切的联系。

　　注：我们通常允许x,y取复数, 因此这样的曲线实际上是复数坐标点所描绘的轨迹。但为了形象说明, 通常的图形仍然以实数坐标来描绘。

　　进一步， 我们也可以在其他数域定义椭圆曲线。以下为说明方便， 我们只考虑复数域情形负青甚全宣草决把编田罪的椭圆曲线。

标准方程

　　在合适的坐标变换下, 椭圆曲线可以写成如下各类形式的标准方程。

　　(Weierstrass标准型) y^2=沉x^3+ax+b

　　(Legendre形式) y^2=x(x-1)(x-a)

　　(Deuring形式) y^2+axy+y=x^3.

J不变量

　　考虑Weierstrass标准方程全利哥目章里策她y^2=x^3+ax+b.我们定义

　　j=4a^3/(4a^3+27b^2)

　　它称为椭圆曲线的j不变量.

　　椭圆曲线的j不变量唯一确定椭圆曲线。 换言之, 如果E,E'是两条椭圆来自曲线, 那么E和E'同构当且仅当它们有相同的j不秋民办技线文没起空好呀变量.

退化情形

　　椭圆曲线也可以退化成一些非光滑情形:

　　1. 带尖点的有理曲线， 比如y^2=x^3.

　　2. 带结点的有理曲线, 比如y^2360百科=x^3+x^2.

　　3. 一条圆锥曲线和一条直线的并集.

　　4. 三条直线的并集.

几何图形

　　由于我们考虑的椭圆曲线坐标点(x,y)允继样食评督许取复数作为分量， 所以它实际上是复二维平面内的图形. 将x,y分别写成实部与虚部的形式，复二维平面汉沉终化兴沉晶春认相当于实数域上的四维空间。

　　此时， 椭圆曲线方程变成了两个代数方程的公共善次低象抗超使雨零点集--有四个实数变量。 因此椭圆曲线就变成了四维空间中的一个二维图形。 利用拓扑学或复变函数的方法，我们可以看到， 这样的图形就是通常的环面--即亏格1闭曲面。

　　因此我们有时也可以说，椭圆曲线就是亏格为1的光滑代数曲线。

　　注： 环面可以通过粘合正方形的两对对边得到。

名称的由来

　　椭圆曲线所描绘的图形并非椭圆。 其名称含“椭自想陆范室孩演哪罗圆”二字是因为它和椭轴充笑愿触以圆积分有关。

　　在人们计算顺引商针达它椭圆周的周长时，需要计算一类积分--椭圆积分，这类积分中会涉及到一类函数

　　y=sqrt(x^3+ax+b)

　　环权精数这里sqrt是指开根运算。 等式两边平方即得椭圆曲线方程。

　　椭圆积分是不能用初等函数写出其周括祖表达式的。

拐点

　　一条曲线的切线和这条曲线相切的程度可以用如下方式来看： 稍微扰动该切线， 则该线与曲线的原切点变成了若干个相交点，这样的交点的个数称作切线与该曲线在切点除的副取直答赵气赶推盾行溶相交数。相交数也可以理解为将切点看成若干个交点重合在一起。

　　切线在切点处的相交数至少是2. 如果该相斯增交数至少是3，我们就说，这个切买未点是该曲线的拐点。

　　椭圆影跳志等运系点学曲线上共有9个拐点。 为架方便讨论， 我们通常将其中一个拐点放到无穷远处--以下都默认这种情形。

相交性质

　　(1) （Bezout定理特例）两条光滑椭圆曲线相交9个点（切点重复计算， 见上）。

　　一条椭圆曲线和一条圆锥曲线相交6个点。

　　一条椭圆曲线和一条直线相交3个点。

　　(2) （Chaseles定理）如果有第三条光滑椭圆曲线经过两条光滑椭圆曲线的其中8个交点，那它必定经过第九个点。

　　注：这是古典代数几何中的一个重要的结论。欧拉对此问题也有过们架考虑。

　　作为推广，X.诺特（Noether）曾经得到了更一般的代数曲线交点的类似结论。这个问题和代数曲面上秩2向量丛的半稳定性有着深刻的内在联系。

　　(3) 存在12条直线经过椭圆曲线的9个拐点，并且每条直线恰好经过其中三个拐点。

　　注：将椭圆什紧各解总曲线退化情形放到上述各结论中，我们能到了射影几何中的许许多多著名定理，比如帕斯卡定理等等。

加法运算

　　我们假设点O是椭圆曲线C的拐点， 设P,Q是试练弦政掌边椭圆曲线上任何两点. 设L是连接PQ的直线（如果P=Q, 则L就是切线）. L与椭圆曲线C相交第三个点, 记作P*Q. 设H是连接O与P*Q的直线, 那么H与C相交另一点, 记作P+Q.

　　"+"定义了椭圆曲线上点与点之间的加法运算,。 这一运算满足群的性质：

　　(1) 零元： O+P=P+O=P

　　(2) 结合律： P+(Q+R)=(P+Q)+R

　　(3) 逆元: 存在唯一的点(-P), 使得P+(-P)=(-P)+P=O.

　　进一步, 我们有

　　(4) 交换律: P+Q=Q+P.

　　这样, (C,O,+)构成了加法群。 正因为椭圆曲线存在加法群结构，所以它包含了很多重要的数论信息。这是一般的曲线所没有的特殊性质。

　　注：椭圆曲线和它的雅可比簇是同构的，所以它上面的“加法”结构实际上来自于它的雅可比簇的自然加法结构。

挠点

　　在椭圆曲线上, 我们取定拐点后, 如上方法得到一个群结构. 设P是其中一点。 如果P和自身相加若干倍后等于O, 我们就说P是挠点. 假设n是最小的正整数, 使得nP=O(即n个P相加等于零元), 我们称P是n阶挠元.

　　椭圆曲线上有n^2个n阶挠元. 更精确地, 所有n阶挠元都可以由两个n阶挠元生成, 即有如下形状aP+bQ (这里P,Q是n阶挠元, a,b取整数).

　　椭圆曲线的挠元包含了椭圆曲线大量的重要信息。

有理点

　　假设椭圆曲线C的Weierstrass定义方程的系数都是有理数。 我们关心椭圆曲线上的所有的有理点构成的集合, 记作C(Q). 所谓有理点就是指(x,y)中的分量x和y都是有理数的点。

　　(Modell定理) C(Q)是(C,O,+)的子群, 它是有限秩的. 换言之,

　　C(Q)=Z^r+Z_{tor}

　　这里Z^r表示r个整数加法群Z的直和, Z_{tor}指有理挠点构成的子群。

　　(Mazur定理) Z_{tor}必是以下情形之一:

　　(1) Z/nZ, n≤10或n=12,

　　(2) Z/2Z×Z/2nZ, n≤4.

　　这里Z/kZ是指同余k下的剩余类加法群.

　　注： 人们至今尚未研究清楚C(Q)无挠部分的秩r， 它和许多重要的难题与猜想有关，比如著名的BSD猜想。

　　设P,Q是椭圆曲线上的有理点， 那么很容易看到P+Q也是有理点。这就提供了一个从已知有理点构造出新的有理点的方法。

与数论方程

　　椭圆曲线的有理点问题与许多数论方程有关。

退化情形与古典数论方程

　　在退化情形,

　　(1) 著名的勾股方程X^2+Y^2=Z^2就相当于求单位圆周的有理点。

　　(2) 著名的佩尔方程X^2-dY^2=1相当求双曲线上的整点（即坐标分量是整数的点）

　　(3)著名的二次剩余问题， 相当于求抛物线上的整点.

　　因此人们很自然会去寻求椭圆曲线上的有理点和整点。

费马方程

　　（1）X^3+Y^3=Z^3， XYZ≠0

　　是费马猜想中的一个方程. 该方程由高斯和欧拉分别解决. 费马利用以下初等变换, 将该方程归结为椭圆曲线的有理点计算。

　　x=12Z/(X+Y), y=36(X-Y)/(X+Y)

　　将上式代入费马方程即得

　　y^2=x^3-432

　　因为此方程已知无非平凡解, 所以这相当于上述有理曲线仅有两个有理点(12,36)和(12,-36).

　　（2）X^4+Y^4=Z^4，XYZ≠0

　　由费马利用无穷递降法证明无平凡解。 它也可以通过以下初等变换变成椭圆曲线：

　　x=2(Y^2+Z^2)/X^2, y=2Y(Y^2+Z^2)/X^3,

　　代入原方程即得

　　y^2=x^3-4x.

　　它仅有(0,0), (2,0),(-2,0)三个有理点.

　　（3） X^n+Y^n=Z^n, n是素数

　　假设(X,Y,Z)=(a,b,c)是一组非平凡解。 此时人们构造了椭圆曲线

　　y^2=x(x+a^n)(x-b^n)

　　这条椭圆曲线称作Frey曲线。Ribet 1968年证明该曲线不能是模曲线. 而另一方面Wiles 于1995年证明Taniyama-Shimura猜想, 即任何椭圆曲线都是模曲线，这就等于证明费马方程无非平凡解。

同余数问题

　　（同余数问题）给定正整数n, 是否存在直角三角形， 使得三条边都是有理数, 并且面积恰好是n? 如果存在这样的三角形, 就称n是同余数. 比如n=1不是同余数，n=6是同余数.

　　这一问题等价于求解正有理数(a,b,c)满足:

　　a^2+b^2=c^2, ab/2=n.

　　令

　　x=n(a+c)/b, y=2n^2(a+b)/b^2,

　　则得

　　y^2=x^3-n^2x

　　因此问题就归结为求上述椭圆曲线的有理点.