在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理

• 中文名 裴蜀定理
• 外文名 Bézout's identity
• 提出者 艾蒂安·裴蜀
• 别    称 贝祖定理

定理

　　​在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

　　ax + by = m

　　有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

　　例如，12和4来自2的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

　　特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

　　裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：360百科d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

历史

　　历史上首先证外续山乎逐氢燃负本三明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年经职他个盟发表的著作《有关赵克担危企林者功整数的令人快乐与惬意的问题集》察贵兵（Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描始友哥除述和证明[1]。

　　然而，裴蜀相殖超清入额推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中别是未斗克哥的裴蜀等式，并给出了相应吧决镇季另的定理和证明[2]。

整数

　　对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图来自方程（称为裴蜀等式）：

　维　ax + by = m

　　有整数解(x,y)当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明方法

　　如果 a 和 b 有一个是360百科0，那么它们两个的最大公约数是0。这时定理显然成立。以下设 a和 b 都不为0。

　　设，下面证明A中的最小正元素是 a 与 b 的最大诉充难客南公约数。

　　首先， 不是空集（至少包含a），因此 A 中存在最小正元素d0 = x0a + y0b。考虑A中任意一个正元素p对 d0 的带余除法，设p = qd0 + r其中q为正整数，。但是

　　因此 r = 0，。也就是说，A中任意一个正元素p都是 d0 的倍数，特别地：、。因此 d0 是 a 和 b 的公约数。

　　色款财修另一方面，对 a 和 b 的任意正公约数d，设 a = kd、 b = ld，那么

　　d0 = x0a + y0b = (x0k + y0l)d

　　因此 。所以 d0 是 a 和 b 的最大公约数。

　　在方程ax + by = m列元断事阿为足中，如果 m = m0d0，那么方程显然有无穷多个解：

　　。

　　相你态与球读或降配析反的，如果ax + by = m有整数解，那么 ，于是由可知 （即 ）。

例子

　　裴蜀方程 504x + 651y = 14 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。袁怎正落好密特道而方程 504x + 651y = 21是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程：

　　24x + 31y = 1。

　　通过辗转相除法可以得到一组解( − 9,7)：。

　　于是通解为：，即

　　。

多个才整数

　　设为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数 使得 。特别来说，如果互质（不是两两互质），那么存在整数 使得 。

多项式环

　丰左形　K为域时，对于多项式环K[X]里的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族里的多项式。设Δ为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式使得。特别来说，如果互质（不是两两互质），那么存在多项式使得。

　　对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。

任意主理想环

　　裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

　　ax + by = d

　　这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被候构向武定义为理想aA + bA的生成元。

参见

　　理想 (环论)

　　欧几里德整环

　　欧几里德引理

　　主理想环

　　整除

参考来源

　　^ 原版的网上版本（法文）

　　^ 证明的网上版本（法文）

　　闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。

　　唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。

模板

　　若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by乎重象啊我情晶=1.

模板证明

　　设存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正煤整数，d≠1。再设am+bn=e，则e≥d .若d不整除e，对e做带余除法.必定存在p，r使e=pd+r.r＜d则r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整数钟要宣m-px，n-py使a严杂顶列片略较怕物x+by=r＜d，与d的最小性联到讨止鲜织坏陆少矛盾。所以d整除e.似候乎低县令m=1，n=0，则d整剂计茶节派短赵策除a；同理d整除b.所以d=(a,b).a,b互质时，d=1

推广

　　以上定理可推广到n个，n≥2

　　如1st IMO 1959第1处酸流吸总可山题：证明对任意自却担女谓歌前然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。Q.E.D.

　　另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数