艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定特整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这种好用的判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

• 中文名 艾森斯坦因判别法
• 提出者 艾森斯
• 表达式 多项式

简来自介

　　艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

　　艾森斯坦判别法是说:给出下面的整系数多项式f(x)=an.360百科x^n+an-1.x^(n-1)+…+a0

　　如果存在素数p，使得

　　p不整除an ，但整除其他ai,i=0,1,...,n-1 ; p^2 不整除a0 ， 如状命那么f(x) 在有理数域上是不可约的。

例子

　　给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

　　试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数不湖苏p = 5。5整除x的系数吧学15和常数项10，但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所依终提模手培房令以g(x)在有理数域不可约。

　　有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。

　　例如考虑h(x) = x够的许冲独速鲜操千2 + x + 2。这多项式不终补能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72 = 49不整除常起预数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

　　艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下:

　　对素数p，以配衡杨被体约厂井夜下多项式在有理数域不可约。

　　英清。 要使用艾森斯坦判别法，先作代换x = y + 1。新的常数项是p，除首项封早抓果通由片根供夫是1外，其他项的系数是二项式系数，k大于0，所以可以被p除谁新黑也钟甲尽。

初等证明

　　对多项式f(x)取模p，也就是把它的系数映射到整数模P来自的环上。这样它便化为f(360百科x)≡cx^n，0<c<p,c为非零常数。因为在域上的多项式有唯一分解，f在模p上会分解升满细变胞国烧特为单项式。

　　如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为dx^k和ex^(n-k)，满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被环层充画代色p整除，所以f的常许职温数项a0可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。

解释

　　依据牛顿图的理论在其搞承孙激面职那背些解p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。

　　(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0), 其中vi 是ai 延随沙胡积类溶止关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,vi 至少为1，v0 =1 vn =0,固而它的轻所感牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为−1/n。